через ajax нельзя качать файл, но можно сделать скрытую ссылку и вызвать ее триггер вот пример для axios на ajax перепишите сами
exportCompilation({state}) {
this.$axios({
url: `/api/${state.compilation.id}/export`,
method: 'GET',
responseType: 'blob'
}).then(response => {
let fileURL = window.URL.createObjectURL(new Blob([response.data]))
let fileLink = document.createElement('a')
fileLink.href = fileURL
fileLink.setAttribute('download', state.compilation.name + '.xlsx')
document.body.appendChild(fileLink)
fileLink.click()
})
},