Не вращается потому, что там это не указано в настройках.
В десктопной версии у вас код запуска слайдера выглядит так:
$('#slideshow0').slick({
accessibility: true,
adaptiveHeight: true,
autoplay: true,
arrows: true,
dots: true,
draggable: true,
infinite: true,
pauseOnHover: true,
slidesToShow: 1,
slidesToScroll: 1,
swipe: true,
pauseOnFocus: false,
pauseOnHover: false,
pauseOnDotsHover: false
});
А в мобильной так:
$(function () {
$('.single-item').slick({
accessibility: true,
arrows: false,
dots: true,
infinite: true,
pauseOnDotsHover: true,
});
});
Кстати, о том, что мобильная версия это именно отдельная мобильная версия на поддомене стоит предупреждать дополнительно. Сейчас это редкость по сравнению с адаптивными сайтами.
И у вас криво работает определение мобильных устройств. Когда я сачала использовал юзер агент с Хром на Андроид, оно продолжало показывать десктопную версию, а средиректило только на юзер агенте айфона.