1. Исправить ошибки в стилях. Масса он-лайн сервисов для этого. Как вариант http://csslint.net/
2. Что то начинаете внедрять, не забивайте на полное выполнение задачи, пока она не будет решена :
style.css?ts=<?=time()?>
Пытались добиться мгновенного обновления стилей в браузере, но почему то не убедившись, что так это в твиге не работает, бросили.
Как вариант добавить так (единственное не понятно зачем там у вас такая вложенность и явно лишняя папка /mycustomtheme/ )
<link rel="stylesheet" type="text/css" href="catalog/view/theme/mycustomtheme/barbershop/style.css??{{ object.date|date('H.i.s') }}" />
3. Не применяются стили после исправления данных ошибок , пробуйте это
Теперь отвлечённая тема... Зачем кому то в 2021 году сайт, без мобильной версии ?
Почему при наличии 100500 проблем и неистово красной консоли браузера кричащей об ошибках и предупреждениях, всё что вас беспокоит, это зачем то свернуть шею вёрстке , скрывая от покупателей возможность перемещаться по меню навигации в и так убогой мобильной версии?